.Понятие определенного интеграла. Последовательность упраж­нений на вычисление площадей

Решая задачи на вычисление площади криволинейной трапеции, нетрудно убедиться, что площадь полностью определяется функцией у = f(х) и концами промежутка а и Ь. Действительно, всякая первообразная Ф (х) для функции

f (х) отличается от любой другой ее первообразной F (х) на постоянную, поэтому Ф (х) = F (х) + С, т. е.

Таким образом, любые две первообразные для функции f (х) име­ют на отрезке [а; Ь] одно и то же приращение.

Приращение первообразной для функции f (х) на отрезке [а; Ь] будем называть определенным интегралом от функции

F (х) на отрезке [а; b] и обозначать .

По определению = F (Ь) — F (а), где F’ (х) = f (х).

Рис 75

Рис. 74

Если понятие неопределенного интеграла не вводилось, то можно не употреблять термин «определенный интеграл», а говорить просто «интеграл».

Надо сказать, что и без так введенного понятия определен­ного интеграла можно решать задачи на вычисление площадей, вывести нужные в школьном курсе формулы для вычисления объе­мов: для этого достаточно понятия первообразной. Но символом оп­ределенного интеграла пользоваться удобно (сокращаются записи), он общепринят, с ним ученики в дальнейшем могут встретиться при чтении математической литературы.

Таким образом, сначала мы предлагаем пользоваться для ре­шения задач на вычисление площадей формулой, выражающей пло­щадь как разность значений первообразной. Только тогда, когда на примерах ученики усвоят формулу, предлагаем перейти к исполь­зованию символа определенного интеграла. При доказательстве теоремы, что площадь криволинейной трапеции не зависит от того, какой из первообразных данной функции воспользовались для вы­числения площади, полезно проде­лать в решенных перед этим зада­чах вычисления, используя раз­личные первообразные для одной и той же функции.

В более сложных задачах, которые далее приводятся, будем использовать символ . Усложнение упражнений идет в следующих направлениях:

рис.76

1) Функция f(х) за­дается, а пределы интегрирования надо найти из условия зада­чи (например, вычис­лить площадь фигуры, ограниченной парабо­лой и осью абсцисс, если парабола пересе­кает ось абсцисс).

2) Задаются две функции, графики ко­торых имеют точку пе­ресечения, и пределы интегрирования. Криволинейную трапецию приходится разбивать на части.

3) Как и в предыдущем случае, задаются две функции, но пределы интегрирования приходится находить в процессе решения задачи.

Пример. Заданы функции у = х3, у = 2 — х (рис. 74). Требу­ется найти площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и осью абсцисс.

4) Случай, когда площадь фигуры вычисляется как разность пло­щадей двух криволинейных трапеций (рис. 75).

5) Сочетание предыдущих случаев (рис. 76).

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами

Парабол у = х2, у = —х2 и прямой у = 4 (рис. 77).

В последней задаче полезно использовать симметрию фигуры от­носительно оси у.

6) Задачи, в которых данную фигуру можно расположить от­носительно осей координат так, чтобы можно было при вычислении площади использовать формулу для площади криволинейной тра­пеции.

Пример. Вычислить площадь параболического сегмента с ос­нованием 10 см и стрелкой 6 см, если его основанием служит хорда, перпендикулярная оси параболы.

Один из способов расположения сегмента изображен на рисун­ке 78.

7) Случай, когда функция f (х) на отрезке [а; Ь] удовлетворяет условию f (x) 0.

Многие из этих задач можно разбирать с учащимися на гото­вых чертежах с помощью кодоскопа.

Здесь либо в каждой конкретной задаче используется симмет­рия относительно оси х (чтобы можно было воспользоваться преж­ней формулой для вычисления площади), либо выводится специальная формула для случая f(x) 0, S=- , которая затем используется в конкретных задачах.

Рис 78

Очень важно соблюдать постепенность в наращивании труд­ности решаемых задач; тогда ученики сравнительно легко переходят от одной задачи к другой, более трудной, сами догадываются о дополнительных построениях и т. д.

Мы видели, что для решения большого числа задач, которые здесь рассмотрены, оказалось достаточно понятия определенного интеграла как приращения первообразной. Вместе с тем возможно и введение понятия определенного интеграла как предела ин­тегральных сумм (ранее были высказаны доводы в пользу этого). При этом можно исходить из задачи вычисления площади криволи­нейной трапеции, как это и делается в большинстве учебных пособий. Желательно при этом отрезок оси абсцисс разбивать на части неравной длины, чтобы показать более общий прием рассуждений.