Примеры: 1. Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найти прямоугольник наибольшей площади. 2. Из всех цилиндров заданного объема 16π м2, найдите цилиндр с наименьшей полной поверхностью.
Решение задач, имеющих и важное мировоззренческое значение, осуществляется в системе закономерных этапов:
— поиск переменной, через которую может быть выбрана искомая величина в виде определенной функции;
— построение функциональной зависимости как модели исследуемой величины;
— переформулировка задачи поиска критических значений на функциональную основу с последующим вычислением и исследованием производной;
— нахождение искомых критических точек функции и их интерпретации в терминах исходной заданной ситуации.
Итак, выделим иерархию целей изучения элементов дифференциального исчисления в общеобразовательном курсе алгебры и начал анализа:
1. Знакомство с понятием производной функции как с одним из фундаментальных понятий математики в общекультурном плане (на уровне функционально-графических интуитивных представлений)
2. Систематическое изучение числовых функций средствами аппарата производных в виде общей схемы исследования функции.
3. Формирование аппарата производных для его приложения в различных областях физики, химии.
4. Развитие модельного подхода в математическом образовании средствами функций-моделей и их исследования на «мини-макс».
Выделенная система целей, реализуемая на абстрактном содержании (общее понятие функции, ее монотонность, экстремумы, исследование) в условиях доказательных математических рассуждений, подтверждает сложный характер их реализации в практической деятельности учителя математики.
Однако общекультурная значимость темы «Производная» в математическом образовании лишь подчеркивает ее обязательность в обучении учащихся, необходимость дальнейшего методического совершенствования.