|
|
|
|
|
|
+ |
— |
|
|
Возрастает ↑ |
Убывает ↓ |
— если непрерывная функция 
достигает в точке C своего максимума или минимума, то значение производной в точке С Равно нулю.
В условиях попыток доказательства этих свойств с разным уровнем строгости их применения к исследованию промежутков монотонности, точек экстремума является все же главной целью изучения.
Применение абстрактных свойств монотонности, экстремума во всякой числовой функции позволяет сформировать общую схему исследования функции. Фактически именно в условиях приложения производной процедура исследования функции приобретает закономерный характер – если ранее свойства элементарных функций «считывались» с графика функций, не имели доказательств, то на основе производной базовые свойства функции доказываются, и график функции строится уже как результат изучения и визуализации свойств функции.
В методике исследования функции выделяются следующие этапы – общая схема исследования функции:
— область определения;
— область значений;
— четность и нечетность;
— пересечение с осями координат;
— знакопостоянства;
— производная и критические точки;
— монотонность и экстремумы;
— выпуклость;
— точки перегиба;
— поведение на бесконечности и в окрестностях точек разрыва.
Важным в общей схеме исследования функций является методологический вывод о целостном развитии функциональной линии, включающей понятие производной и получившей в производной свою определенную законченность и системность.
Многочисленные приложения производной в физике в теоретическом плане основаны на следующей закономерности – физическом смысле производной: если закон движения материальной точке есть функция времени 
, то ее производная 
в момент времени 
есть мгновенная скорость материальной точки 
.