Дифференциальное и интегральное исчисление, разработанное Ньютоном, Лейбницем, Вейерштрассом и др., оказало громадное влияние на исследование динамики движения электрических и магнитных явлений, теории площадей и объемов. Везде, где исследуются изменяющиеся величины, оказалось возможным применение аппарате производных.
Этот исторический факт в развитии математики обосновал фундаментальный характер понятия функции, связанных с ней понятий производной и первообразной.
Общекультурный, цивилизационный Характер понятия производной и ее приложений является главной причиной введения аппарата производных в общеобразовательный курс алгебры и начал анализа.
В общематематическом плане Понятие функции обосновано исследованием зависимости двух изменяющихся величин (зависимой и независимой) – по значению аргумента находить значение функции, Исследованием характера этой зависимости – прямой, обратной пропорциональности, экспотенциальной, периодической и т. д.
Производная как общематематическое понятие Исследует взаимосвязь изменения аргумента и изменение функции на малых промежутках.
Таким образом, функции как зависимости двух величин соответствует производная – функция зависимости изменений этих величин.
Переход от функции 
к ее производной 
есть оператор дифференцирования, удовлетворяющий ряду формальных свойств:
В Математике громадное различие между формальной записью свойств дифференцирования и их точным доказательством. В процедуре доказательства всех свойств производной используется Теория пределов – глубокая математическая теория с тонкими методами рассуждения и результатами, трудно анализируемыми на уровне общеобразовательной школы.
Отсутствие теории пределов как Подлинной основы дифференцирования составляет главную содержательную и методическую трудность в изучении производной в общеобразовательном курсе алгебры и начал анализа.
В методике обучения математике сложились два направления введения производной:
— интуитивное введение понятия предела функции, ее непрерывности и попытки доказательств на этой основе теорем о производной;
— формальное введение производной, ее свойств и раскрытие общекультурного и прикладного аспектов дифференцирования.
Первое направление введения понятия производной, исследования ее свойств на базе математического определения 
и использование терминологии теории пределов (А. Н. Колмогоров, Н. Я. Виленкин) в математическом плане привлекательно, позволяет доказывать признаки монотонности функции, теоретически вычислять производные элементарных функций, строить определенную математическую теорию. Однако введение символа предела вне глубокого его осознания на самом деле математической строгости не добавляет, формальное следование доказательству свойств не достигает истинных целей.